Tres partículas que se trenzan
líneas de universo · el tiempo fluye hacia arriba
Deslizar (RIII)
−1.00
partícula 1
partícula 2
partícula 3
Qué estás viendo. Cada cruce de dos hebras representa una aplicación de la matriz Ř
(la dispersión de dos partículas). Las tres hebras forman el medio giro positivo Δ de la trenza
de 3 hilos. Al deslizar la hebra central de un lado al otro pasas por el punto triple
y conviertes la palabra σ₁σ₂σ₁ en σ₂σ₁σ₂: ambas describen la misma trenza, es decir, el mismo
operador. Esa invariancia ante el orden de las colisiones es justo la ecuación de Yang-Baxter:
el resultado de la dispersión a tres cuerpos no depende del orden en que ocurran las colisiones
de a pares.
El grupo cuántico U_q(𝔰𝔩₂)
de donde proviene la matriz R de la izquierda
parámetro q
1.30
q es el parámetro de deformación. En el límite q→1
se recupera el álgebra envolvente clásica U(𝔰𝔩₂) y la trenza Ř se vuelve el simple intercambio τ.
Generadores y relaciones
generadores: E, F, K, K⁻¹
K E K⁻¹ = q²·E
K F K⁻¹ = q⁻²·F
[E, F] = (K − K⁻¹) / (q − q⁻¹)
Estructura de Hopf
Δ(K)=K⊗K · ε(K)=1 · S(K)=K⁻¹
Δ(E)=E⊗K + 1⊗E · ε(E)=0 · S(E)=−EK⁻¹
Δ(F)=F⊗1 + K⁻¹⊗F · ε(F)=0 · S(F)=−KF
Representación Vn · dim = 2
n
1
q-números [m] = (qm − q−m) / (q − q⁻¹)
Los pesos de K son qn−2k y los coeficientes de E, F
son q-enteros [m]. Cuando q→1 cada [m]→m y se recobra la teoría clásica de 𝔰𝔩₂.
De U_q(𝔰𝔩₂) a la trenza
E, F, K en V₁ (2×2)
Ř en V₁⊗V₁ (4×4)
La relación de trenza equivale a la forma usual
R₁₂R₁₃R₂₃ = R₂₃R₁₃R₁₂ tomando R = τ∘ℛ, con τ el flip.