Una coloración de [X]², la colección de los subconjuntos de dos elementos de X, es una función C de [X]² en {0,1}. Un subconjunto H de X es homogéneo si C es constante en [H]². El teorema de Ramsey asegura que si X es infinito, toda coloración admite un homogéneo infinito. El problema tratado es determinar cuándo se puede recobrar la coloración C a partir de la colección de sus conjuntos homogéneos. Trabajo en colaboración con Claribet Piña.
Cuando tenemos una partición de un conjunto, podemos asociar a cada parte un color, pensando en la partición como una coloración. Los conjuntos que quedan en una sola parte se llaman monocromáticos. El teorema de Ramsey infinito afirma que para toda coloración del conjunto {s ⊂ ℕ : |s| = k} existe un subconjunto infinito H de ℕ monocromático. El teorema finito de Ramsey es un resultado análogo para conjuntos finitos. Se demuestran ambos teoremas y se enuncian dos generalizaciones.
Un espacio polaco X es un espacio topológico completamente metrizable y separable. Si un espacio polaco contiene copias isométricas de todos los espacios polacos, decimos que es universal. Un espacio X es ultrahomogéneo si toda isometría entre dos subconjuntos finitos se extiende a una isometría de X sobre sí mismo. Se demuestra que existe un único espacio polaco universal ultrahomogéneo: el espacio universal de Urysohn.
Los grafos definidos en espacios polacos ofrecen aspectos interesantes desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Se presentan resultados sobre coloraciones de grafos (X, E) cuyo conjunto de vértices X es un espacio métrico completo separable y la relación E de aristas es definible. Se estudia con especial atención el grafo definido en el espacio de los conjuntos infinitos de naturales por la operación de traslado, junto con una familia de grafos en el espacio de Cantor.
Se muestra la existencia de una colección no numerable de continuos encadenables mutuamente incomparables y se hace la construcción de un par de elementos, basados en el artículo del profesor Marwan M. Awartani "An Uncountable Collection of Mutually Incomparable Chainable Continua".
Todo espacio métrico compacto es imagen del espacio de Cantor, lo que indica que las sucesiones infinitas de letras en un alfabeto finito pueden describir estos espacios. Se presenta una extensión del concepto de autómata denominada "autómata traductor" que sirve para comparar estas representaciones.
Se presentan el juego de Kastanas y su conexión con los conjuntos completamente Ramsey, una generalización del juego mediante la noción de selectividad para coideales, y una caracterización de los coideales semiselectivos en términos de su interacción con la propiedad local de Ramsey a través de una versión localizada del juego de Kastanas.
Una familia irredundante sobre ω es una familia de subconjuntos infinitos de ω tal que ningún miembro está casi-contenido en la unión de finitos miembros de la familia. Un ideal es primario si es intersección de un número finito de ideales primos. Se presenta la generalización de que una familia irredundante no puede generar un ideal primario, con varias caracterizaciones de ideales no-primarios y su impacto en la compactificación de Stone-Čech de ω.
Las teorías cuánticas de campo topológicas (TCCT) fueron introducidas por Witten en los años 80 y axiomatizadas por Atiyah. Una TCCT es un funtor de la categoría de n-cobordismos a la categoría de espacios vectoriales que respeta la estructura de producto tensorial. Se presenta una clasificación de las TCCTs bidimensionales en términos de álgebras de Frobenius conmutativas.
Dado un continuo X, diremos que X es unicoherente si A ∩ B es conexo para cualesquiera subcontinuos A y B con X = A ∪ B. El intervalo [0,1] es unicoherente y la circunferencia unitaria S¹ no lo es. Se estudian propiedades y ejemplos de continuos unicoherentes.
Sea X un espacio métrico compacto y numerable con f : X → X un homeomorfismo y E(X,f) su semigrupo de Ellis. Se prueba la equivalencia entre: (i) (X,f) equicontinuo, (ii) (X,f) distal, y (iii) todo punto periódico. Basado en el artículo de Carlos Uzcátegui y Andrés Quintero, 2017.
Las variedades flag generalizadas son espacios homogéneos de la forma G/C(S), donde G es un grupo de Lie compacto y C(S) el centralizador de un toro en G. Equivalentemente, coinciden con la órbita de la representación adjunta de G en su álgebra g. Se presentan resultados preliminares y propiedades de este tipo de variedades.
La teoría de modelos es una rama de la lógica matemática con interacciones con álgebra, teoría de números y combinatoria. Shelah clasificó las teorías completas por su habilidad de codificar configuraciones combinatorias. Se presentan clases importantes de teorías y ejemplos fundamentales.
El SIF dado por f₁(z) = (1+i)z/2 y f₂(z) = (−1+i)z/2 + 1 genera, por el teorema de Hutchinson, una sucesión de curvas convergente al dragón de Heighway D, que satisface D = f₁(D) ∪ f₂(D). Se demuestra que el dragón de Heighway es la unión enumerable de discos topológicamente cerrados y geométricamente similares.
Las particiones de espacios topológicos estudian versiones del Teorema de Ramsey donde las estructuras coloreadas son espacios topológicos. Se introducen los problemas centrales de esta disciplina, se dan ejemplos clásicos y se mencionan métodos y resultados recientes.
En 1996 Graham y Lehrer introducen el concepto de álgebra celular. Estas álgebras son definidas en función de su base, lo cual permite obtener una familia completa de representaciones irreducibles (módulos simples). Se presenta la construcción de dichos módulos simples.
Este problema se deriva de estudiar la relación entre operadores compactos y nucleares. Se estudian propiedades básicas de los números cardinales y se demuestra la existencia del isomorfismo utilizando esas propiedades junto con un teorema de Rosenthal.