Seminario de Topología "Rafael Isaacs"

Se recuerdan las principales propiedades de la Función T de Jones y se presenta una aplicación de esta herramienta en el contexto de la teoría de continuos.

Un ideal I en ℕ es una familia cerrada bajo uniones finitas y subconjuntos. Se estudian ideales representables como Fin(φ) o Exh(φ) mediante submedidas semicontinuas inferiormente. Mazur y Solecki (años 90) caracterizaron los ideales Fσ y los P-ideales analíticos mediante estas submedidas. Se presentan las generalidades con ejemplos, en particular la submedida φ tal que el ideal de densidad cero Z = Exh(φ).

Se estudian propiedades de C[a,b] con la norma del supremo: C¹[0,1] no es Banach y el operador derivada no es acotado aunque tiene gráfica cerrada. Se analizan relaciones entre normas y su conexión con la dimensión finita de subespacios. Se caracteriza el dual de C[0,1] mediante el Teorema de Riesz: todo funcional lineal y continuo se representa como integral de Riemann–Stieltjes respecto a una función de variación acotada.

Dado X métrico compacto, se pregunta si existe f continua con (X,f) teniendo una órbita densa. Cuando X es numerable la respuesta es afirmativa: se puede construir f tal que el sistema tenga una órbita densa. Se presenta un bosquejo de esta construcción.

Una función continua f sobre un espacio métrico compacto (X,d) es sensible a condiciones iniciales si existe ε > 0 tal que para todo x ∈ X y r > 0, existen y ∈ X con d(x,y) < r y m ∈ ℕ con d(fᵐ(x),fᵐ(y)) > ε. Se generalizan estas nociones al contexto de funciones multivaluadas. Trabajo conjunto con J. Amorocho y S. Macías.

Dado K un compacto Hausdorff, C(K) es el espacio de Banach de funciones continuas de valor escalar definidas en K. Se discute la interacción entre las propiedades topológicas de K y las propiedades analíticas del espacio C(K).

Se estudia la relación entre los espacios CTS y la propiedad fuerte de Choquet. Mummert y Stephan (2010) caracterizaron cuándo un espacio es homeomorfo a un espacio MF de base numerable. Se demuestra que un CTS es de Baire si y solo si es de Choquet, y se construye un espacio de Baire que no tiene la propiedad fuerte de Choquet.

Los espacios de Banach de sucesiones usan sistemas de coordenadas dados por bases de Schauder. Se analiza la caracterización del grupo Isom(X) de isometrías sobreyectivas de X para espacios clásicos, presentando resultados históricos del análisis funcional y resultados recientes de la literatura.

Mikhail Khovanov desarrolló la teoría homológica para nudos y enlaces con el fin de construir invariantes topológicos en cuatro dimensiones usando Álgebra Cuántica. El polinomio de Jones se relaciona con los Grupos Cuánticos. La homología de Khovanov categorifica este polinomio, constituyendo un invariante más fino que no detecta el nudo trivial para ningún nudo no trivial conocido.

Dos sistemas dinámicos (X,f) y (X,g) son conjugados topológicamente si existe un homeomorfismo φ con φ∘f = g∘φ. La Teoría Descriptiva de Conjuntos proporciona herramientas para estudiar la complejidad boreliana de esta relación de equivalencia sobre el espacio polaco C(X,X) y la cardinalidad de sus clases.

Un espacio de Banach tiene la propiedad de Schur (1921) si convergencia débil y fuerte son equivalentes. Se analiza la relación entre esta propiedad, la secuencialidad débilmente completa y la reflexividad, mostrando qué implicaciones se tienen y cuáles no, con base en trabajos de Rosenthal, Eberlein, Šmulian y James.

Fröhlich, Lieb y Loss descubrieron que el problema de estabilidad de un átomo con campo magnético es inestable si existe una solución no trivial conocida como "zero mode". Frank y Loss (2022) establecieron estimaciones en el tamaño de los campos magnéticos que garantizan la ausencia de zero modes. Se discuten los aspectos geométricos de esta ecuación.

Kechris, Pestov y Todorcevic (2005) establecieron una profunda conexión entre: la teoría de modelos finitos (vía límites de Fraïssé), la teoría de Ramsey estructural, y la dinámica topológica de grupos de automorfismos. Se presentan las ideas y conceptos centrales de este trabajo.

Dado un espacio métrico compacto X y una función semicontinua superiormente F : X → 2^X, se definen nociones relacionadas con la transitividad topológica en el contexto multivaluado. Se presentan relaciones entre estas nociones y diversos ejemplos. Trabajo conjunto con J. Amorocho y S. Macías.

Se discute la pregunta: ¿cuándo c₀,ℐ es complementado en ℓ∞? Se presentan condiciones sobre el ideal ℐ que determinan la respuesta.

Se presenta la motivación histórica de los operadores compactos, su definición y ejemplos. Se aborda el problema de aproximación y un teorema de Lech Drewnowski que involucra ℓ∞ y el espacio de operadores compactos, así como generalizaciones en curso por miembros del seminario.

Se estudian métodos para representar espacios CTS (compactos, T₁ y segundo numerables) mediante estructuras combinatorias. Morayne y Ryll-Nardzewski mostraron que todo CTS es homeomorfo a 𝒢^max(ℱ) para alguna familia hereditaria ℱ. Bartoš, Bice y Vignatti demostraron que todo CTS es homeomorfo al espectro de un poset contable.

Recorrido por la geometría generada por los valores propios del Laplaciano y el operador de Dirac. Lichnerowicz relacionó el primer valor propio del Laplaciano con la curvatura de Ricci. Se presenta además una caracterización reciente de los primeros valores propios del Laplaciano conforme y el operador de Dirac en una clase conforme fija.

Introducida por Oscar Zariski en 1935 sobre variedades algebraicas y luego generalizada al espectro de anillos conmutativos (fundamental en la Teoría de Esquemas). Se muestra cómo propiedades topológicas básicas (separación, conexidad, compacidad, arco-conexidad) se corresponden con propiedades algebraicas (dominio de integridad, idempotentes, cerradura algebraica, ser noetheriana) de los anillos.

Dados un espacio métrico compacto sin puntos aislados X y una función semicontinua superiormente F : X → 2^X, para cada p ∈ X se define el conjunto órbita 𝒪_F(p) = {x ∈ X^ℕ : x₁ = p y xₙ₊₁ ∈ F(xₙ) para cada n ∈ ℕ}. Se estudian propiedades y ejemplos de estos conjuntos.

Un subespacio de ℓ∞ es complementado si, y solo si, es isomorfo a ℓ∞. Se presenta y discute la demostración de este teorema de Lindenstrauss.

La teoría de la bifurcación estudia cambios cualitativos o topológicos en el comportamiento de sistemas al variar un parámetro. Se presenta el estudio de la existencia de puntos de bifurcación en una familia uniparamétrica de inmersiones con curvatura media constante (CMC) y condición de frontera libre en variedades Riemannianas.

Un filtro sobre ℕ es omega-maximal si es la intersección de una colección numerable de ultrafiltros no principales. Se muestran ejemplos muy diferentes de filtros omega-maximales y su conexión con un trabajo conjunto con Michael Rincón sobre espacios de sucesiones casi nulas.

Jalali-Naini y Talagrand caracterizaron cuándo los ideales sobre ℕ tienen la propiedad de Baire. Talagrand demostró que la intersección de una familia numerable de ultrafiltros libres no tiene la propiedad de Baire, y asumiendo el axioma de Martin tampoco la de familias de tamaño menor al continuo. Se demuestra que este último resultado puede obtenerse sin usar dicho axioma.

La teoría de Ramsey estudia la inevitabilidad de estructuras ordenadas bajo aparente caos. Uno de sus resultados fundamentales en combinatoria aditiva es el Teorema de Hindman: dada cualquier partición ℕ = C₁ ∪ ⋯ ∪ Cᵣ en finitas clases, existe un conjunto infinito X ⊂ ℕ tal que el conjunto FS(X) de todas las sumas finitas de elementos distintos de X está contenido en alguna Cᵢ.

Introducción a los grupoides étale, una clase de grupoides topológicos con diversas aplicaciones en álgebra y topología. Son la base del Álgebra de Steinberg, relevante en el estudio de C*-álgebras y acciones parciales, pues incluyen álgebras de camino de Leavitt y productos cruzados por acciones parciales de grupos.

¿Cuál es la naturaleza de la clasificación de objetos en matemáticas? Se estudian relaciones de equivalencia en espacios polacos y se define cuándo un problema de clasificación es más "fácil" que otro, precisando qué significa "clasificar". Se discuten teoremas famosos de dicotomía relacionados con la teoría descriptiva de conjuntos.

En 1851 Riemann afirmó que toda región simplemente conexa del plano complejo, distinta del plano completo, puede transformarse conformemente en un disco. Se presenta una variante de la prueba de Koebe (1914) y se enuncia la generalización a superficies de Riemann conocida como Teorema de Uniformización.

Dado el plano complejo extendido Ĉ y la función cuadrática holomorfa f_c(z) = z² + c, se define el conjunto de Mandelbrot. Se exploran algunas de sus caracterizaciones, se presentan ejemplos ilustrativos y se describe su construcción detallada.

Cantor demostró en 1878 la existencia de una biyección entre [0,1] y [0,1]². Esto motivó investigar si podía existir una función continua y sobreyectiva de [0,1] en [0,1]². En 1890 Peano publicó la primera de estas "curvas que llenan el espacio"; poco después Hilbert desarrolló su famosa curva. Se presentan estas construcciones y sus propiedades topológicas.

Sea (X, f) un sistema dinámico discreto. El conjunto ω-límite de un punto p se define como ω(p; f) = {y ∈ X : existe nₖ → ∞ tal que f^{nₖ}(p) → y}. Se muestran propiedades del conjunto ω-límite y se presentan ejemplos de compactos que resultan ser conjuntos ω-límite.

Se presentan aspectos históricos de la estrategia de Cantor para demostrar la hipótesis del continuo usando la propiedad del conjunto perfecto. Se introducen las relaciones de equivalencia sobre espacios Polacos y su clasificación, y se discute el Teorema de Mycielski, que proporciona condiciones suficientes para que |X/E| = |ℝ| cuando E es una relación de equivalencia con ciertas propiedades.

Se estudian resultados fundamentales sobre reflexividad en espacios de Banach (Kakutani, James 1964), el concepto de secuencialidad débilmente completa y el teorema de Rosenthal que relaciona ambas nociones. Se extiende el análisis a espacios de operadores, discutiendo cuándo la reflexividad equivale a la secuencialidad débilmente completa en ese contexto.

Dado un continuo X y funciones continuas f₁, …, fₙ : X → X, se considera la función multivaluada F : X → 2^X definida por F(x) = {f₁(x), …, fₙ(x)}. Se definen nociones dinámicas: órbita densa, transitividad y sensibilidad, se presentan ejemplos y la definición de caos de Devaney en este contexto.

La Q-curvatura es el análogo de orden superior de la curvatura escalar; sus deformaciones conformes están gobernadas por la ecuación de Paneitz-Branson. Se revisa la existencia de múltiples métricas conformes de Q-curvatura constante en productos de esferas.

Dados un espacio métrico compacto X y una función semicontinua superiormente F : X → 2^X, se define la órbita de un punto x como el conjunto de sucesiones (xₙ) con xₙ₊₁ ∈ F(xₙ). Se definen nociones dinámicas en este contexto multivaluado, se presentan ejemplos y se plantean preguntas.

Se discuten algunos conceptos y resultados de dinámica lineal, explorando la relación entre propiedades dinámicas de operadores lineales e ideales de subconjuntos de ℕ.

¿Es posible peinar una esfera completamente cubierta de pelos? El teorema establece que cualquier campo de vectores continuo en S² debe anularse en algún punto. Se recorre su historia desde Poincaré (1885) y la generalización de Brouwer (1912) para esferas de dimensión par, hasta la elegante demostración de Milnor (1978) usando solo cálculo básico. Se presentan además múltiples aplicaciones en meteorología, computación gráfica, algoritmos de rutas e inteligencia artificial.

Se estudia el espacio de funciones continuas con dominio abierto, dotado de la topología τ_hco (compacto-abierta con abiertos), siguiendo el enfoque de Allah y Brown. Se muestra que el espacio Cod(X, Y) es polaco cuando X es localmente compacto, Hausdorff y segundo numerable, y Y es completo. En particular se encuentra una métrica explícita para (Γ(X), τ_hco). Trabajo conjunto con Carlos Uzcátegui.

Todo espacio de Banach reflexivo es isométricamente isomorfo a su doble dual. Sin embargo, surgió la conjetura de que si X es separable e isométricamente isomorfo a su doble dual, entonces X es reflexivo. Robert James (1951) construyó un espacio que refuta esta conjetura, hoy conocido como el espacio de James. Se estudian sus propiedades fundamentales.

Una colección H de subconjuntos de ℕ se llama alta si todo subconjunto infinito de ℕ contiene un subconjunto que pertenece a H. El ejemplo motivador está relacionado con el Teorema de Ramsey. Se abordan propiedades de estas familias y sus conexiones con combinatoria infinita.

En 1944 Reuben Goodstein definió para cada natural n una sucesión que crece inicialmente de manera astronómica pero que siempre termina en cero. Este Teorema de Goodstein es independiente de los axiomas de Peano, aunque demostrable en ZFC usando números ordinales transfinitos.

Partiendo del 17.º problema de Hilbert, se presentan aplicaciones matemáticas que ha inspirado en las últimas décadas: probabilidad, sistemas dinámicos y teoría de control, estadística y machine learning, teoría de juegos, ciencia computacional y teoría de grafos. Se profundiza en las aplicaciones en teoría de grafos.

Se presenta el desarrollo histórico del Teorema del Valor Medio de Lagrange, desde los trabajos pioneros hasta la formulación actual en los cursos de cálculo. Se muestran algunas aplicaciones clásicas en análisis matemático de este resultado, considerado por muchos no menos importante que el Teorema Fundamental del Cálculo.

Dado un sistema dinámico discreto (X, f) donde X es un espacio métrico sin puntos aislados, se definen tres nociones diferentes de caos, se muestran ejemplos y relaciones entre ellas. Los resultados hacen parte de la tesis de pregrado "Propiedades dinámicas en espacios métricos compactos", desarrollada bajo la orientación del profesor Javier Camargo.

Se discute la noción de Q-curvatura como análogo de orden superior de la curvatura de Gauss. Se estudia su comportamiento bajo transformaciones conformes de la métrica (gobernado por la ecuación de Paneitz-Branson) y sus similitudes con la curvatura escalar en el contexto del problema de Yamabe.

Dada una función continua f : X → X sobre un espacio métrico sin puntos aislados, se definen algunas propiedades dinámicas sobre f, se introducen nociones de función caótica (incluyendo el caos en el sentido de Devaney) y se presentan ejemplos.

Dado un ideal I sobre ℕ, una familia casi disyunta de I (I⁺-AD) es una colección de subconjuntos de ℕ tal que ningún elemento vive en I y la intersección de dos elementos distintos sí vive en I. Se muestra la existencia de familias I⁺-AD no numerables cuando I es el ideal de subconjuntos finitos, y se aplica este concepto al problema de complementación de subespacios de ℓ_∞.

Se explora el surgimiento de los números transfinitos de Cantor a partir de los problemas de convergencia de series trigonométricas de Fourier. Se traza el camino desde los trabajos de Riemann hasta el desarrollo del formalismo de Cantor, mostrando cómo el estudio de los conjuntos excepcionales de convergencia llevó a la teoría de conjuntos.

Sesión conmemorativa del cuatrocéntésimo encuentro del seminario. Sergio Macías presentó un recorrido histórico por el Congreso de Primavera de Topología; Rafael Isaacs presentó "Construyendo comunidad", una colección de semblanzas sobre el seminario y sus participantes.

Dado un continuo X y un punto p en X, se dice que p es un punto de no corte si X \ {p} es conexo. Se definen seis clases de puntos de no corte con características topológicas diferentes, se muestran relaciones entre estas clases y se presentan ejemplos.

Un subconjunto de un espacio topológico tiene la propiedad de Baire si su diferencia simétrica con un abierto es magra. En espacios polacos, todos los borelianos la tienen. Se presentan resultados sobre la propiedad de Baire en el espacio de Cantor, en particular el teorema de Talagrand que afirma que los ultrafiltros no principales no tienen la propiedad de Baire, con conexiones al espacio de Banach de las sucesiones I-convergentes a cero.

Se describe cómo se enumeran los elementos del atractor de un Sistema de Funciones Iteradas (SIF) y se proponen métodos para comparar tales enumeraciones por medio de autómatas traductores.

Continuación de la sesión 392. Se muestra que no siempre es posible obtener una extensión Hausdorff y compacta de un espacio CTS, ni tampoco siempre una extensión Hausdorff y σ-compacta con los mismos conjuntos de Borel.

Se estudian algunas aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach (demostrado independientemente hacia 1920). Se presentan los famosos Teoremas de extensión de Phillips (1940) y Sobczyk (1941), entre otros resultados clásicos del análisis funcional derivados de este teorema fundamental.

El profesor F. Burton Jones definió en 1948 un par de funciones para estudiar la estructura aposindética de los continuos métricos: las funciones K y T. La función T ha sido ampliamente estudiada, pero la función K mucho menos. Se presentan propiedades de la función K, aplicaciones obtenidas a partir de ella, y algunas anécdotas históricas.

Un operador lineal y continuo T en C(K) es llamado multiplicación débil si puede escribirse como gI + S donde g ∈ C(K) y S es estrictamente singular; y multiplicador débil si su adjunto es la suma de un operador débilmente compacto con el producto de la identidad por una función boreliana en K. Se presentan resultados obtenidos conjuntamente con R. A. Fajardo y L. Pellegrini, en la línea del influyente artículo de P. Koszmider (2004) sobre espacios C(K) con pocos operadores.

Se denominan CTS los espacios compactos, T₁ y segundo numerables. Se muestran resultados sobre sus extensiones polacas: todo espacio CTS admite una extensión polaca que preserva Borelianos, lo que implica que la σ-álgebra de Borel de los espacios CTS es estándar, es decir, isomorfa a la σ-álgebra de Borel de algún espacio polaco.

Se presenta un nuevo tipo de espacio cociente en hiperespacios de continuos. Ver resumen completo en el blog.

Se estudia la relación entre la entropía topológica de un sistema dinámico (X, f) y la de su función inducida Cₙ(f) en el hiperespacio Cₙ(X). Ver resumen completo en el blog.

Se estudian los semigrupos X^X e I(X) (semigrupo inverso simétrico) para X = ℕ, ambos con estructura de semigrupo polaco. Se presentan resultados recientes de Elliott et al. (2023) sobre la representación de subsemigrupos de semigrupos polacos.

Robert Ellis (1960) introdujo el semigrupo de Ellis (o semigrupo envolvente) como la clausura topológica del conjunto {fⁿ : n ∈ ℕ} en el espacio producto X^X. Se presenta una caracterización usando p-límites donde p es un ultrafiltro sobre ℕ, junto con propiedades algebraicas y dinámicas de este semigrupo.

El Teorema BLT afirma que todo operador lineal acotado definido de un espacio normado X en un espacio de Banach Y puede extenderse de manera única a un operador lineal acotado sobre la adherencia de X. Se prueba este teorema y se presentan algunas de sus aplicaciones.

La topología digital nació con los trabajos de Rosenfeld (años 70), quien representó imágenes digitales como subconjuntos de ℤ² con nociones de conexidad basadas en adyacencia de píxeles. Khalimsky, Koperman y Meyer introdujeron en los 90 una topología sobre ℤ. Se presenta una versión del Teorema de la curva de Jordan en este contexto digital, junto con la caracterización de arcos y curvas de Jordán en el plano digital.

Se estudia la relación entre los valores propios del operador de Laplace-Beltrami y la geometría de variedades Riemannianas. El resultado modelo, de Lichnerowicz y Obata, afirma que en variedades con curvatura de Ricci acotada inferiormente, el primer valor propio no nulo del Laplaciano está acotado inferiormente por el correspondiente en la esfera redonda. Se discuten conexiones con el problema de Yamabe en geometría conforme.

Se estudia la propiedad de sombreado en sistemas dinámicos inducidos: dado (X, f), se considera el sistema inducido en el hiperespacio (2^X, 2^f) o (C(X), C(f)). Se pregunta si la propiedad de sombreado se preserva o levanta entre el sistema base y los inducidos.

Se presenta la historia y construcción de la geometría hiperbólica, desde la duda sobre el quinto postulado de Euclides hasta la construcción del disco hiperbólico (modelo de Poincaré). Se discute el Teorema de Gauss-Bonnet para triángulos hiperbólicos y su analogía con el caso esférico.

Continuación de las sesiones anteriores. Se presentan más resultados sobre el espacio de Banach de sucesiones I-convergentes.

Un subcontinuo A de X es regular si cl(int(A)) = A. D(X) denota la colección de todos los subcontinuos regulares de X con la métrica de Hausdorff. Se presentan ejemplos donde D(X) es o no es compacto o conexo, propiedades del hiperespacio y preguntas abiertas. Trabajo conjunto con Norberto Ordoñez y Diego Ramírez.

Un continuo X es encadenable por continuos si para cualquier par de sus puntos x, z y cualquier ε > 0, existe una familia finita de continuos {L₁, …, Lₙ} de X tal que x ∈ L₁, z ∈ Lₙ, diam(Lⱼ) < ε y Lⱼ intersecta a Lₖ si y solo si |j − k| ≤ 1. Se define la clase de continuos débilmente encadenables por continuos, que generaliza a la anterior. Investigación en conjunto con Rosario Alonso López López.

Sean G un grupo compacto y X un G-espacio metrizable. X es G-A(N)E si para cada G-espacio metrizable Y y cada cerrado invariante A, toda función equivariante f : A → X se puede extender a una vecindad invariante U de A. Se presentan ejemplos de G-ANE's, se demuestra que todo G-espacio metrizable se puede encajar isométricamente en un G-AE, y se muestra que el funtor de globalización preserva G-homotopía.

Los ideales selectivos y semiselectivos permiten explorar versiones locales óptimas de la teoría de Ramsey infinito dimensional. Se muestra que la hipótesis del continuo junto con la negación de la hipótesis de Suslin implican que existe un ideal semiselectivo cuyo complemento no contiene ningún ultrafiltro selectivo, aunque también es consistente con ZFC que todo coideal semiselectivo contenga ultrafiltros selectivos. Trabajo conjunto con Carlos Di Prisco y Michael Hrušák.

Continuación del estudio iniciado en la sesión 355. Se estudian funciones inducidas entre hiperespacios de sucesiones convergentes, retomando el enfoque iniciado por Hosokawa (1989) sobre funciones inducidas entre hiperespacios de continuos y ampliándolo al contexto de Sc(X).

Se estudian topologías ∗-invariantes sobre grupos: τ es ∗-invariante si g∗U ∈ τ para cualesquiera g ∈ X y U ∈ τ. Se prueba que si (X, τ) es numerable, sus elementos se pueden separar por abierto-cerrados disjuntos y es homogéneo, entonces existe una topología +-invariante ρ sobre ℤ tal que (X, τ) ≅ (ℤ, ρ). Se aplica al espacio de Arhangelʼskiĭ-Franklin S_ω.

Sea H(X) el grupo de autohomeomorfismos de X con la topología compacta-abierta, generada por los conjuntos ⟨K; V⟩ = {f ∈ H(X) : f(K) ⊆ V} con K compacto y V abierto. Se presenta una demostración alternativa de que H(X) es un grupo topológico con la topología uniforme cuando X es un espacio métrico compacto, basándose en el resultado clásico de Arens (1942).

Se analizan propiedades de los espacios de sucesiones p-sumables ℓ_p (1 ≤ p < ∞): reflexividad, separabilidad, complementabilidad, entre otras. También se estudian los espacios ℓ_∞ de sucesiones acotadas y c₀ de sucesiones que convergen a cero.

Dado un sistema dinámico (X, f) y δ > 0, una δ-pseudo-órbita es una sucesión (x₁, x₂, …) tal que d(f(xᵢ), xᵢ₊₁) < δ para cada i. Diremos que el sistema tiene la propiedad de sombreado si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que toda δ-pseudo-órbita está ε-sombreada por alguna órbita real. Se presentan propiedades y ejemplos de esta noción.

Continuación de la presentación de propiedades del espacio de Banach de sucesiones ℓ-convergentes.

Se presenta el concepto de agujero (gap) en el conjunto potencia de ℕ, generalización de las cortaduras de Dedekind estudiada por Hausdorff. Se exponen ejemplos de agujeros, su relación con los ideales de subconjuntos de ℕ, y cómo se pueden usar para estudiar espacios de convergencia.

Sean X un continuo y A, B cerrados no vacíos con A ∩ B = ∅. Se dice que A no estorba a B si κ_{X\A}(B) = {L ∈ C(X) : B ∩ L ≠ ∅ y L ⊆ X \ A} es denso en X. Se define NB(F₁(X)) = {A ∈ 2^X : A no estorba a {x} para cada x ∈ X \ A}. Se muestra que si X es hereditariamente descomponible con la propiedad de Kelley y NB(F₁(X)) es un continuo, entonces X es una curva cerrada simple. Trabajo conjunto con Mayra Ferreira.

Sea A = CO(ℚ) el conjunto de todos los clopen de ℚ y G = H(ℚ) el grupo de homeomorfismos de ℚ. Basándose en el artículo de Christian Rosendal (2005), se muestra que H(ℚ) no admite topología de grupo polaco: si existiese una topología que lo hiciera grupo topológico Hausdorff y Baire bajo ciertas hipótesis, ésta debería extenderse a la topología producto en A^A, lo que conduce a una contradicción.

Estudio de las nociones de reflexividad y secuencialidad débilmente completa en espacios de ideales de operadores y polinomios entre espacios de Banach. Se presentan los teoremas clásicos de Pettis, Kakutani y Eberlein-Šmulian en este contexto ampliado.

Un espacio topológico conexo es COTS si para todo subconjunto Y de X con tres elementos, existe z ∈ Y tal que X \ {z} tiene dos componentes y los otros dos elementos están en componentes distintas. Se caracteriza esta clase y su relación con la recta digital, finalizando con la caracterización de los arcos y curvas de Jordán en el plano digital.

Un espacio de Banach E es llamado transitivo si dados dos puntos de su esfera unitaria, existe una isometría lineal y sobreyectiva de E en E que envía uno en el otro. S. Mazur conjeturó en 1932 que el único espacio de Banach separable con esta propiedad es ℓ². Se discuten algunas versiones multidimensionales de este problema.

Dado un continuo X, se consideran los subespacios D(X) = {K ∈ C(X) : cl(K°) = K} (subcontinuos regulares) y M(X) = {K ∈ C(X) : K° = ∅} (subcontinuos magros). Se presentan resultados sobre conexidad, compacidad y densidad de estos hiperespacios, así como resultados originales sobre la complejidad boreliana de D(X), la contractibilidad de M(X) y caracterizaciones de espacios métricos S para los cuales existe un continuo X con M(X) homeomorfo a S.

Continuación de la sesión 362. Se hace un recorrido por resultados de tipo uniformización en geometría diferencial y se discuten aspectos generales y resultados recientes relacionados con el problema de Yamabe en variedades diferenciales.

Se estudia la metrizabilidad del espacio Γ(X) de homeomorfismos parciales entre abiertos de X, dotado de la topología compacto-abierta heredada τ_hco. Ver adjunto en el blog para el resumen completo.

Uno de los problemas más destacados en geometría consiste en el estudio de las "mejores" métricas que puede admitir una variedad diferencial. Un prototipo de estos problemas lo proporciona el Teorema de Uniformización en superficies cerradas. Se hace un recorrido por algunos resultados de tipo uniformización y se discuten aspectos generales y resultados recientes relacionados con el problema de Yamabe.

Sea φ una coloración en dos colores de parejas de elementos de un conjunto X numerable. Se estudia el problema de reconstrucción de coloraciones a partir de subconjuntos homogéneos. Se definen las coloraciones fuertemente reconstruibles y se demuestra que forman una clase propia de las coloraciones reconstruibles. Se analiza la función r(φ) = {|A| : A ≠ ∅, A induce una reconstrucción de φ}, mostrando que si X es infinito, los únicos valores posibles de r(φ) son 1, 4 y ℵ₀.

Para todo espacio métrico compacto X existe una única (salvo homeomorfismos) compactificación Yₓ de ℕ tal que Yₓ \ ℕ es homeomorfo a X. Un subgrupo boreliano P de un grupo polaco G es polonizable si existe una topología polaca sobre P con los mismos conjuntos borelianos que los de P con la topología de subespacio. Se muestra que, dado X compacto métrico, el grupo de homeomorfismos H(Yₓ) puede identificarse con un subgrupo polonizable de S∞. Resultados basados en el artículo de Todor Tsankov.

Se estudian clases de funciones no necesariamente continuas que satisfacen el Teorema del punto fijo de Brouwer: funciones de conectividad (Stallings, 1959), funciones de Darboux, funciones conexas, funciones de conectividad local y funciones casicontinuas. Se presentan las relaciones existentes entre estas clases de funciones.

Dado un espacio métrico compacto X, se define T(A) = X \ {x | existe un continuo W con x en el interior de W y W disjunto de A}. Un cerrado A de X es T-cerrado si T(A) = A. Se define el hiperespacio Cᴛ(X) de los continuos T-cerrados con la métrica de Hausdorff, y se presentan ejemplos, propiedades y preguntas abiertas, basándose principalmente en el trabajo de Capulín, Castañeda-Alvarado, Ordoñez y Ruiz (2020).

Se discuten resultados sobre dos ideales de subconjuntos de ℕ asociados a una sucesión en un espacio de Banach dado.

Se presentan resultados sobre ideales de subconjuntos de ℕ, especialmente ideales definidos usando submedidas no patológicas sobre ℕ, es decir, submedidas que son iguales al supremo de una familia de medidas sobre ℕ.

Una sucesión convergente no trivial S en X es un conjunto infinito numerable tal que existe un punto x en S donde S \ U es finito para cada abierto U que contiene a x. Dado un continuo X, Sc(X) denota la colección de todas las sucesiones convergentes no triviales en X con la métrica de Hausdorff. Dada f : X → Y continua, se introduce la función inducida Sc(f)(S) = f(S). Se estudian las relaciones entre f y Sc(f) bajo condiciones de ser función abierta, semiabierta, casi abierta y monótona, entre otras.

Sea X un espacio métrico sin puntos aislados. Se define el hiperespacio de las sucesiones convergentes no triviales Sc(X) dotado con la topología de Vietoris. Se presentan propiedades como conexidad, conexidad por caminos y conexidad local, así como ejemplos y preguntas abiertas sobre este hiperespacio.

Dado un conjunto X, se define I(X) el conjunto de biyecciones entre subconjuntos de X, dotado de una topología compatible con las operaciones de composición e inversión; en el caso numerable, I(X) es polaco. Si X es un espacio topológico, se define Γ(X) el espacio de homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de X. Se muestra que cuando X es localmente compacto Hausdorff, Γ(X) admite una topología que respeta las operaciones, y se estudian las condiciones bajo las cuales este espacio resulta polaco.

Dado un continuo X, Cₙ(X) denota la familia de los compactos no vacíos con a lo más n componentes, dotado de la métrica de Hausdorff. Una celda es un espacio homeomorfo al producto [0,1]^k. Se muestra cómo construir celdas en Cₙ(X) y que un continuo X es hereditariamente indescomponible si y solo si Cₙ(X) no contiene una copia de [0,1]^{n+1}. Trabajo en colaboración con los profesores Daniel Herrera y Sergio Macías.

A todo conjunto ordenado le corresponde una estructura topológica que resulta ser una topología de Alexandroff. En todo semigrupo se define un pre-orden (llamado cuasi-orden izquierdo de Green), y en consecuencia se obtiene una topología de Alexandroff llamada la topología de Green del semigrupo. Se muestran algunas características de estas topologías sobre conjuntos finitos, basándose en un trabajo de B. Richmond que presenta una clasificación de todas las topologías sobre conjuntos de a lo sumo cinco puntos que provienen de una estructura de semigrupo.

Se discuten algunos resultados sobre el compacto de Banach-Mazur BM(n), esto es, el conjunto de todas las clases de isometría de los espacios n-dimensionales junto con la topología inducida por la distancia de Banach-Mazur.

El Teorema de metrización de Urysohn muestra que un espacio topológico es metrizable si es T₁, regular y 2-numerable. En grupos topológicos, el Teorema de Birkhoff-Kakutani muestra que solo se necesita que el grupo sea Hausdorff y 1-numerable para que sea metrizable. Además, la métrica compatible que se construye posee invarianza a izquierda: la distancia entre los elementos del grupo no se modifica por traslaciones a izquierda. Se presentan aplicaciones a los grupos Polacos.

Una familia de subconjuntos infinitos de ℕ se dice alta si todo subconjunto infinito de ℕ contiene un subconjunto infinito que pertenece a la familia. Dado F una familia alta, un selector para F es una función S tal que para todo conjunto infinito A, S(A) es un subconjunto infinito de A que pertenece a F. Se estudia la complejidad de dicha función selectora y en qué condiciones se puede conseguir que sea medible Borel.

Sea X un espacio polaco (metrizable completo y separable). Se considera F(X) el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de X junto con la σ-álgebra E(X) generada por los conjuntos de la forma {F ∈ F(X) : F ∩ U ≠ ∅} donde U es abierto en X (espacio de Effros-Borel). Se da una prueba del Teorema de Selección de Kuratowski–Ryll-Nardzewski: existe una función boreliana s : F(X) → X tal que s(F) ∈ F para todo F ∈ F(X), junto con algunas de sus aplicaciones.

Se define el hiperespacio de los no bloqueadores de F₁(X). Se muestra que el único continuo hereditariamente descomponible con la propiedad de Kelley tal que su hiperespacio de no bloqueadores es un continuo es la curva cerrada simple.

En 1942 J. L. Kelley define una propiedad que produce una condición suficiente para que algunos hiperespacios sean contraíbles. En esta charla se define dicha propiedad, hoy conocida como Propiedad de Kelley, y se presentan ejemplos y algunas propiedades relacionadas.

En 1970 el profesor David Bellamy introduce una generalización de la contractibilidad conocida como g-contraíble o contraíble generalizado, definido como los espacios tales que existe una función continua y sobreyectiva en sí mismo, que es homotópica a una función constante. Los continuos g-contraíbles son uniformemente conexos por caminos; el profesor Bellamy planteó la pregunta de si su recíproco se tiene. Iwona Krezeminska y Janusz Prajs dan respuesta negativa a la pregunta del profesor Bellamy, dando un ejemplo cuyo continuo es uniformemente conexo por caminos no hereditariamente unicoherente. En esta presentación se muestra un dendroide uniformemente conexo por caminos que no es g-contraíble.

Se demuestra que la propiedad de sombreamiento se preserva bajo el mapa inducido en el hiperespacio: f : X → X tiene la propiedad de sombreamiento si y solo si el inducido 2^f también la tiene (resultado de Fernandez y Good). Asimismo, se muestra que en el caso del inducido en C(X) la propiedad de sombreamiento no se preserva.

Dado un continuo X y A, B ∈ 2^X, se dice que B no bloquea a A si A∩B = ∅ y la unión de todos los subcontinuos de X que intersecan a A y están contenidos en X \ B es densa en X. Se presentan ejemplos y propiedades de los conjuntos NB(H), demostrando que el único continuo localmente conexo que cumple que NB(F₁(X)) sea un continuo es la curva cerrada simple.

Un continuo X es de tipo λ si es irreducible y todo subcontinuo indescomponible tiene interior vacío. Se estudian propiedades de los conjuntos omega límite ω(x,f) y Ω(x,f) en esta clase de continuos, involucrando conceptos de sistemas dinámicos como puntos periódicos, puntos recurrentes y funciones equicontinuas.

Se define la Propiedad de Pettis, que extiende el Teorema de Pettis al contexto de semigrupos inversos polacos. Se muestran dos ejemplos relacionados a I(ℕ): uno que tiene la propiedad y otro que no. La prueba hace uso del Teorema de Pettis, versión abstracta del resultado clásico del análisis que dice que si A ⊆ ℝ es no magro con la Propiedad de Baire, entonces {x−y : x,y ∈ A} contiene un intervalo abierto alrededor del cero.

Panorama general sobre los ideales Ramsey y su relación con propiedades de convergencia asociadas a sucesiones y series sobre los números reales. Se presentan interacciones entre la versión ideal del teorema de Ramsey y versiones ideales de teoremas clásicos del análisis matemático: Bolzano-Weierstrass, Arzela-Ascoli y el teorema del reordenamiento de Riemann.

Se presenta la definición de un dendroide y algunas de sus muchas propiedades fundamentales.

Una propiedad topológica es de Whitney cuando se cumple que cada continuo que tiene tal propiedad tiene niveles de Whitney con esa misma propiedad. Se muestra que ser imagen continua de algunos continuos es una propiedad de Whitney y que existe un continuo para el cual ser su imagen continua no lo es.

El axioma de elección permite demostrar la existencia de conjuntos de números reales no medibles o sin la propiedad de Baire. Adrian Mathias mostró, usando una conexión con la teoría de Ramsey, que no hay familias maximales casi disjuntas analíticas y que su existencia no es demostrable sin el axioma de elección.

Sea (X,f) un sistema dinámico con X espacio métrico compacto. Un punto x es llamado punto no errante de f si para cada abierto U que contiene a x, existe un entero positivo n tal que fⁿ(U) intersecta U. Se define la función Ω_f : X → 2^X dada por Ω_f(x) = Ω(x,f) y se estudia cuándo esta función es continua, presentando ejemplos con diferentes tipos de continuos.

Una función continua entre continuos f : X → Y se dice ligera si f⁻¹(f(x)) es totalmente disconexo para cada x en X. Los conjuntos 2^X y Cₙ(X) denotan la colección de cerrados no vacíos de X y la colección de cerrados no vacíos con a lo más n componentes, respectivamente. Dada f, se inducen naturalmente las funciones continuas 2^f y Cₙ(f). Se presentan condiciones para que estas funciones inducidas sean ligeras.

Un espacio de Banach se llama transitivo si dados dos puntos de la esfera unitaria, existe una isometría que envía uno de los puntos en el otro. Se discute el problema de rotaciones de Mazur: ¿es todo espacio de Banach separable y transitivo isomorfo (isométrico) a un espacio de Hilbert?

Un continuo X es g-pseudo-contraible si existen una función f : X → X continua y suprayectiva, un continuo C, puntos a, b ∈ C, p ∈ X y una función H : X × C → X tal que H(x,a) = f(x) y H(x,b) = p para todo x ∈ X. El concepto generaliza las nociones de contractibilidad, pseudo-contractibilidad y g-contractibilidad. Se presentan ejemplos y propiedades básicas de cada una de las nociones relacionadas.

La topología compacta-abierta es la más usada entre las topologías sobre el espacio de las funciones continuas con dominio un espacio compacto Hausdorff. Se presentan resultados sobre una generalización natural en el espacio de las funciones continuas con dominio un subconjunto abierto, con énfasis en el espacio de los homeomorfismos entre subconjuntos abiertos y la relevancia de esta topología para el estudio de acciones parciales de grupos topológicos. Trabajo en colaboración con Héctor Pinedo y Luis Martínez.

Dado un continuo X y dos cerrados A y B, se dice que B bloquea a A si toda función continua f de [0,1] en 2^X con f(0)=A y f(1)=X tiene un t menor que 1 tal que f(t) toca a B. Se presentan ejemplos de bloqueadores y propiedades de estas familias de cerrados de un continuo.

Introducción al espacio de Arens-Eells asociado a un espacio métrico dado y discusión de problemas abiertos alrededor de estos espacios. Finalmente se demuestra que el espacio de Arens-Eells de ℕ es isomorfo al clásico ℓ₁(ℕ).