Sobre los productos simétricos en espacios métricos compactos

La teoría de hiperespacios es una rama que surge de la necesidad de dotar al conjunto potencia de un espacio topológico con una topología que esté directamente relacionada con la del espacio inicial. Para ello existen dos formas de hacerlo. La primera, más general, mediante la topología de Vietoris; y la segunda, para espacios métricos, trabajando solo con los conjuntos cerrados y la métrica de Hausdorff.

Cualquier espacio métrico compacto con la topología inducida, ya sea por la topología de Vietoris o por la métrica de Hausdorff, se conoce como hiperespacio. En esta presentación hablaremos de un hiperespacio en particular: el hiperespacio de los productos simétricos.

Presentaremos resultados sobre los productos simétricos, enfocándonos principalmente en aquellos que responden a la siguiente pregunta: sea 𝒫 una propiedad topológica. Si X tiene la propiedad 𝒫, ¿bajo qué condiciones los productos simétricos preservan la propiedad 𝒫? Recíprocamente, si los productos simétricos tienen la propiedad 𝒫, ¿cuándo X la tiene?