Sobre el cálculo del grado dinámico para una familia de mapas biracionales inspirados por la teoría de Cluster álgebras
Machacek y Ovenhouse (2022) estudiaron los mapas μp,q(x,y) = (x, (1+xp)/y) ∘ ((1+yq)/x, y), donde p, q son números reales positivos. Estos mapas generalizan la dinámica de las mutaciones de las cluster álgebras de rango 2 y son de interés en el área de la integrabilidad. En este contexto, Machacek y Ovenhouse demostraron la integrabilidad de dichos sistemas cuando pq ≤ 4 (por ejemplo, la existencia de una cantidad conservada) y plantearon la pregunta: ¿admite μp,q una cantidad conservada cuando pq > 4?
Más recientemente, Chen y Li mostraron que no existe una cantidad conservada en la forma de un polinomio de Laurent cuando pq > 4. Sin embargo, la pregunta permanece abierta para funciones racionales más generales. Esta pregunta ha sido resuelta cuando p y q son números naturales, mediante el cálculo del grado dinámico de μp,q.
En esta charla se presenta el método de índices locales desarrollado por Alonso, Suris y Wei (2023) para calcular el grado dinámico. Se discutirá también el método clásico para realizar este cómputo usando el pullback sobre el grupo de Picard. Finalmente, se presentarán otros ejemplos y comentarios sobre la dinámica y la teoría ergódica de estos mapas.
Este trabajo es parte de un proyecto conjunto con Krishna Kalidindi, Andrei Grigorev y Roland Roeder.
Nota: no se requieren conocimientos previos sobre Cluster álgebras.
← Volver a sesiones recientes