Topologías polacas en grupos de homeomorfismos de espacios métricos numerables

Sea X un espacio métrico numerable y sea Homeo(X) su grupo de homeomorfismos, considerado como grupo abstracto. Se estudia la conjetura:

Homeo(X) admite una topología de grupo polaco ⇔ X es localmente compacto.

La dirección correspondiente a los espacios localmente compactos se obtiene a partir de resultados clásicos: para espacios métricos numerables y localmente compactos, Homeo(X) admite una topología de grupo polaco, en el marco de los resultados de Arens y desarrollos posteriores de Mann y Rosendal. En la dirección opuesta, Rosendal demostró que el grupo abstracto Homeo(ℚ) no admite ninguna topología de grupo polaco; dado que ℚ es numerable y no localmente compacto, este resultado constituye un caso previo central.

En esta charla se estudia un caso particular que puede verse como un modelo especialmente patológico de la situación no localmente compacta: el espacio

M = {0} ∪ ⋃_n≥1 P_n,   P_n = {1/n + 1/(n²m) : m ≥ 1} ⊆ ℝ.

Cada punto de M ∖ {0} es aislado, mientras que 0 es el único punto no aislado. Los conjuntos P_n se concentran alrededor de 1/n, y estos puntos se aproximan a 0 cuando n → ∞. Esta combinación de una estructura discreta muy grande con un único punto no aislado permite concentrar, en un ejemplo concreto, parte de la dificultad que aparece al estudiar espacios métricos numerables no localmente compactos.

El objetivo principal de la charla es comentar la demostración de que Homeo(M) no admite ninguna topología de grupo polaco. La demostración traduce primero la estructura topológica de M en un problema combinatorio sobre grupos de permutaciones y, mediante una obstrucción basada en el teorema de categoría de Baire y en centralizadores algebraicamente determinados, muestra que la no existencia de una topología de grupo polaco para Homeo(M) es una propiedad de su estructura abstracta de grupo.

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