El problema del punto fijo en continuos planos: un recorrido histórico de Brouwer a los problemas abiertos actuales
Un espacio topológico X tiene la propiedad del punto fijo (PPF) si toda función continua f : X → X tiene algún punto fijo. Determinar qué continuos tienen la PPF es una de las preguntas más antiguas y resistentes de la teoría de continuos.
El punto de partida es el teorema de Brouwer (1912): toda función continua del disco cerrado n-dimensional en sí mismo tiene un punto fijo. La pregunta natural en el plano es para cuáles subcontinuos compactos y conexos del plano, distintos del disco, sigue siendo válido este resultado. La pregunta clásica, formulada por Ayres hacia 1930 y recogida en el Libro Escocés, es si todo continuo que no separa el plano tiene la PPF. Esta pregunta sigue completamente abierta.
En la charla se recorre la historia de este problema: el caso localmente conexo, resuelto por Borsuk (1932); los resultados de Bell (1967), que excluyen a los continuos sin subcontinuos indescomponibles; los continuos encadenables, para los que Hamilton (1951) demostró la PPF —incluyendo el pseudo-arco, el continuo hereditariamente indescomponible por excelencia—; y el contraejemplo de Bellamy (1980), que muestra que los continuos tipo árbol no necesariamente tienen la PPF, aunque el ejemplo no es plano.
Se concluye con los problemas abiertos centrales: si todo continuo que no separa el plano tiene la PPF, si puede realizarse un contraejemplo tipo Bellamy como continuo plano, y si el resultado de Bell se extiende a funciones holomorfas.
H. Bell, On fixed point properties of plane continua, Trans. Amer. Math. Soc. 128 (1967), 539–548.
D. P. Bellamy, A tree-like continuum without the fixed-point property, Houston J. Math. 6 (1980), 1–13.
J. B. Fugate, L. K. Mohler, The fixed point property for tree-like continua with finitely many arc components, Pacific J. Math. 57 (1975), 393–402.
O. H. Hamilton, A fixed point theorem for pseudo-arc and certain other metric continua, Proc. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 173–174.
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