Relaciones entre los espacios de operadores compactos y los espacios de operadores lineales y continuos definidos entre espacios de Banach

En el estudio de los espacios de operadores entre espacios de Banach, una conjetura clásica postula que, para cualquier par de espacios de Banach X e Y, siempre se cumple que K(X, Y) = L(X, Y) o bien que el espacio de operadores compactos K(X, Y) no es un subespacio complementado en L(X, Y). En otras palabras, la conjetura afirma que si K(X, Y) es complementado en L(X, Y), entonces K(X, Y) = L(X, Y).

Esta conjetura ha sido verificada en muchos casos particulares: Emmanuele demostró que K(X, Y) no es complementado en L(X, Y) siempre que K(X, Y) ≠ L(X, Y) y L(X, Y) contiene una copia de c₀. Por su parte, John mostró que si K(X, Y) ≠ L(X, Y), entonces L(X, Y)/K(X, Y) contiene una copia isométrica de ℓ∞. Además, Kalton probó que si K(X, Y) ≠ L(X, Y) y L(X, Y) contiene una copia de ℓ∞, entonces K(X, Y) no es complementado en L(X, Y).

En esta charla nos centraremos en el caso Y = c₀ y veremos que, para cualquier espacio de Banach X tal que K(X, c₀) ≠ L(X, c₀), el espacio K(X, c₀) no es complementado en L(X, c₀).